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2018年センター試験 数学1A解説 第1問[2]集合と命題

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第1問[2]は昨年に引き続き集合と命題からの出題。この分野、出題される年によって難易度の差が激しく、ハズレの年になると時間がかなりかかってしまいます。2018年はどうだったのでしょうか?

(1)  キ の解き方

まず、問題文先頭を見て、全体集合U={x|xは20以下の自然数}と、Uが20までという制限付きなので、いざとなればゴリ押しできそう。それぞれ書いてってみましょうか。

A={1,2,4,5,10,20}
B={3,6,9,12,15,18}
C={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

という感じになります。問題を見ていくと

(a) A⊂C

これが正か誤かということですが、

A={1,2,4,5,10,20}

ということでAには奇数の1と5が含まれます。ということは誤り。

(b) A∩B=Φ

A={1,2,4,5,10,20}
B={3,6,9,12,15,18}

見て分かる人はそのまま見ればいいのですが、入念にチェックするときは、数が大きい順に斜線でも引いて消していけばいいんじゃないかと思います。たとえばAの1を消し、2を消し、Bの3を消し、Aの4を消し…。ダブってることが1つもないことが確認できますね。ということで(b)は正しく、 キ の答えは2番ということになるでしょう。

(1)  ク の解き方

次はちょっとだけ難易度が上がりますね。

(c) (A∪C)∩B={6,12,18}

一気にやらずに部分的にやっていけば、これもミスなくいけるんじゃないでしょうか。

A∪C={1,2,4,5,6,8,10,12,14,16,18,20}
B={3,6,9,12,15,18}

となって、共通しているものは6,12,18になり、これは正しいとわかります。

(d) (A∩C)∪B = A∩(B∪C)

必要なものを1つ1つ書き出すと、こんな感じですかね。

= {3,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19} …①
A∩C = {6,8,12,14,16,18} …②
①②より
(A∩C)∪B = {3,6,8,9,12,14,15,16,18} …③

で、イコールより左が出たので、右部分も出していきます。

B∪C = {2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20} …④
①④より
A∩(B∪C) = {3,6,8,9,12,14,15,16,18} …⑤

③と⑤が見事に一致したので、(d) (A∩C)∪B = A∩(B∪C)は正と言えます。

…という風に答えていっても所詮20個までなのでそれでいいと言えばいいのですが、(b) A∩B=Φを利用してベン図を書いていってもいいと思います。そのやり方はまた別解として示したいと思います。

(c)と(d)の結果から ク の答えは0番ということになりますね。

(2)  ケ  コ の解き方

(2)は必要条件・十分条件の問題です。pに絶対値記号が付いていますんで、それを外すことからスタートしましょう。外し方が分からない方は「絶対値記号の外し方」も参考にしてくださいね。

pの絶対値を外すと、

(i)x≧2のとき、 x-2>2より x>4 …⑥
(ii)x<2のとき、 -x+2>2、-x>0より x<0 …⑦
⑥⑦より p: x<0,4<x

ということで、q(x<0)またはr(x>4)がpと同値になり、 ケ の答えは必要十分条件(2番)になります。

また、sは|x|>2と言い換えられますので、同じように処理すると

s: x<-2,2<x

となりますので、「sはrであるための○○条件」を調べていくことになります。

まず、s→rを調べます。

  • sはx<-2または2<x
  • rはx>4

なので、たとえばx=-3のときはs→rは成り立ちません。

逆に、s←rの場合、xは4より大きいので、「2<x」を満たせています。つまりs←rは成り立つということ。

上記より、 コ の答えは「必要条件であるが十分条件ではない」の0番が入ります。

今年は「集合と命題」分野は例年より簡単でした。ここで煩わせて時間を取られることはなかったのでストレス無く解けたのではないかと思います。

2018年センター試験 数学Ⅰ・数学A解説







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