入試分析 数学 高校

2018年センター試験 数学1A解説 第1問[3] 2次関数

投稿日:

2018年のセンター試験・数学Ⅰ・数学Aの第1問[3]は前年と同じで2次関数からの出題でした。特にひねらず、割とオーソドックスな出題で解きやすかったかなとは思いますが、いかんせん配点が10点しかないのが気になるところです。

が、点数が細切れになったってならなくたって「10点は大きい」と割り切って解いていきましょう。

スポンサードリンク

  サ  シ の解き方

まずは平方完成でy=f(x)のグラフの頂点を求めていきたいところですが、とりあえずこの問題を単独で解くだけなら

2次関数g(x)=ax2+bx+cで、y=g(x)のグラフの頂点のx座標は-\frac{b}{2a}

これを使っていけばいいのではないかと。この式に当てはめると、

p=\frac{2(a+3)}{2a}=\frac{a+3}{a}=\fbox{1}+\frac{\fbox{3}}{a} … サ  シ 

  ス の解き方

次の問題は、必要に応じて図を書いてったらいいと思います。「0≦x≦4でのy=f(x)の最小値がf(4)」とありますので、軸≧4ということがわかります。

1+\frac{3}{a}\geqq 4

両辺にaをかけて(a>0だから不等号の向きは変わらない)

a+3≧4a
-3a≧-3
a≦1 …①

①とa>0より 0 < a ≦  1  …  ス 

  セ の解き方

次の問題ですが、0≦x≦4の間でy=f(x)の最小値がf(p)になる…ということは頂点のx座標(軸)が0≦x≦4の間に挟まれていればいいわけですね。つまり、0≦p≦4と。

0≦pより

0 \leqq 1+\frac{3}{a}

両辺にa(>0)をかけて

0 ≦ a + 3
-3 ≦ a …②

また、p≦4より

1+\frac{3}{a} \leqq 4

両辺にaをかけて

a + 3 ≦ 4a
3 ≦ 3a
1 ≦ a …③

②③より、  1  ≦ a …  セ 

  ソ  ~  ト の解き方

 ス  、 セ  では求めていませんが、y=f(x)の最小値がf(0)になるようなaの値の範囲ってあるのかな?と考える方もいると思います。

…ですが、軸が x=1+\frac{3}{a} で、さらにa>0である以上、軸はプラス(x>0)にあり、最小値を取るとしたらx=pのときか、x=4のときしかない、と気づきましたか?

気づけていれば先に進みましょう。

また「したがって」と出てきてますので、 ス  ~  セ  を使って解いていくのでしょうね。まず、 ス  で解いた「0≦x≦4でのy=f(x)の最小値がf(4)」のとき、つまり0<a≦1のとき、最小値はf(4)ですので

f(4) = a・42-2(a+3)・4 -3a +21
=16a-8a-24-3a+21=5a-3

これが1になるので

5a-3=1, 5a=4
a=\frac{\fbox{4}}{\fbox{5}} … ソ  タ 

今度は、 セ  で解いた「0≦x≦4でのy=f(x)の最小値がf(p)」になるときですが、計算を少しでも簡単にしましょう。

f(x)=a(x-p)2 - ap2 -3a +21

とおけるので、最小値は

-ap^{2}-3a+21
=-a(1+\frac{3}{a})^{2}-3a+21
=-a(1+\frac{6}{a}+\frac{9}{a^{2}})-3a+21
=-a-6-\frac{9}{a}-3a+21
=-4a+15-\frac{9}{a}

これが1になるので

-4a+15-\frac{9}{a}=1
-4a+14-\frac{9}{a}=0

両辺に-aをかけて

4a2 -14a +9 =0
a=\frac{14\pm \sqrt{14^{2}-4\cdot 4\cdot 9}}{2\cdot 4}
=\frac{14\pm 2\sqrt{13}}{8}
=\frac{7\pm \sqrt{13}}{4}

もうこの時点で空欄に入る答えは確定したようなものですが、一応確認。最小値がf(p)になるとき、 1 ≦ aでしたが、\frac{7- \sqrt{13}}{4}<1 なので、

=\frac{\fbox{7}+ \sqrt{\fbox{13}}}{\fbox{4}} チ  ト 

2018年センター試験 数学Ⅰ・数学A解説







-入試分析, 数学, 高校

Copyright© 勉強ナビゲーター , 2018 All Rights Reserved Powered by STINGER.