2018年のセンター試験・数学Ⅰ・数学Aの第1問[3]は前年と同じで2次関数からの出題でした。特にひねらず、割とオーソドックスな出題で解きやすかったかなとは思いますが、いかんせん配点が10点しかないのが気になるところです。
が、点数が細切れになったってならなくたって「10点は大きい」と割り切って解いていきましょう。
サ 、 シ の解き方
まずは平方完成でy=f(x)のグラフの頂点を求めていきたいところですが、とりあえずこの問題を単独で解くだけなら
2次関数g(x)=ax2+bx+cで、y=g(x)のグラフの頂点のx座標は
これを使っていけばいいのではないかと。この式に当てはめると、
ス の解き方
次の問題は、必要に応じて図を書いてったらいいと思います。「0≦x≦4でのy=f(x)の最小値がf(4)」とありますので、軸≧4ということがわかります。
両辺にaをかけて(a＞0だから不等号の向きは変わらない)
a+3≧4a
-3a≧-3
a≦1 …①
①とa＞0より 0 ＜ a ≦ 1 … ス
セ の解き方
次の問題ですが、0≦x≦4の間でy=f(x)の最小値がf(p)になる…ということは頂点のx座標(軸)が0≦x≦4の間に挟まれていればいいわけですね。つまり、0≦p≦4と。
0≦pより
両辺にa(＞0)をかけて
0 ≦ a + 3
-3 ≦ a …②
また、p≦4より
両辺にaをかけて
a + 3 ≦ 4a
3 ≦ 3a
1 ≦ a …③
②③より、 1 ≦ a … セ
ソ ～ ト の解き方
ス 、 セ では求めていませんが、y=f(x)の最小値がf(0)になるようなaの値の範囲ってあるのかな？と考える方もいると思います。
…ですが、軸が 
気づけていれば先に進みましょう。
また「したがって」と出てきてますので、 ス ～ セ を使って解いていくのでしょうね。まず、 ス で解いた「0≦x≦4でのy=f(x)の最小値がf(4)」のとき、つまり0＜a≦1のとき、最小値はf(4)ですので
f(4) = a・42-2(a+3)・4 -3a +21
=16a-8a-24-3a+21=5a-3
これが1になるので
5a-3=1， 5a=4
今度は、 セ で解いた「0≦x≦4でのy=f(x)の最小値がf(p)」になるときですが、計算を少しでも簡単にしましょう。
f(x)=a(x-p)2 - ap2 -3a +21
とおけるので、最小値は
これが1になるので
両辺に-aをかけて
4a2 -14a +9 =0
もうこの時点で空欄に入る答えは確定したようなものですが、一応確認。最小値がf(p)になるとき、 1 ≦ aでしたが、
