2018年センター試験数学1A解説第1問[1] 数と式

更新日：2018年3月25日

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第1問[1]は安定の数と式からの出題ですが、今年は頻出の「分母の有理化」の出題がなかったです。これは久しぶりかなぁとか思います。とは言ってもそこそこ演習を積んでいればそんなに難問じゃあなかったかなという雑感です。

では順に解いてまいりましょう。

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さぁ始めましょう。問題文最初にイキナリ

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A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)

とか出てきますが、最初から「こ…これって展開しなきゃいけないの…？！」とか思っちゃだめですよ。大概ちゃんと誘導ありますから。問題を読み進めると、

(x+n)(n+5-x) = x(5-x) + n² + 　ア　 n

ここから先に片付けます。コツコツと展開していけばもちろん答えに辿り着けます。(展開の過程は省略します)

まぁ省エネモードで解きましょうか。

解答欄にxがついてないことろだけいじりましょう。打ち消し文字をあまり見ずに太字に注目。(x+n)(n+5-x)

xがつかないのはこれだけだから、「xがある箇所」を避けて見ていくとn(n+5)だけになって

n×n+n×5=n²+　5　n　…ア

次に、「X=x(5-x)とおくと」と書かれているので、Aの中で思い当たるところを当てはめてみましょう。順番並べ替えて

A=x(5-x)(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)=X(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)

ん？？答えが解答欄の形とは程遠い！！X(X+ 　イ　 )(X+ ウエ )？？どうする？？

こんなとこで慌てちゃいけません。問題文ちょっと見てみましょう。文中「したがって」に注目。順接の接続詞なので、前に出てきた結果を前提として使えということでしょうね(現代文の講義みたいですが)。で、何を使えって？

(x+n)(n+5-x) = x(5-x) + n² + 5n　…①

これを残った(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)に使えということか…？手を止めずに、①式のnに何か入れてみましょうか。たとえばn=1を入れると

(x+1)(6-x)=x(5-x)+6=X+6　…②

あれ、Xの式になった。うまくいけそうだと感じたら、今度は次にn=2を入れるといいんじゃないですかね。

(x+1)(7-x)=x(5-x)+14=X+14　…③

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②③をAに戻してあげれば正解か…！

A=X(X+　6　)(X+　14　)　…イ～エ

あとはx= $\frac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき、Xを求めていきましょう。Xの中の5-xだけ先に計算しときましょうか。

$5-x=5-\frac{5+\sqrt{17}}{2}=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$

となりますんで、(a+b)(a-b)の乗法公式が使えそう。

$X=x(5-x)=\frac{5+\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{5-\sqrt{17}}{2}=\frac{25-17}{4}=\frac{8}{4}=\fbox{2}$ …オ

で、これをAに入れてあげると

A=2(2+6)(2+14)=2×8×16=2×2³×2⁴=2¹⁺³⁺⁴=2⁸　…カ

2018年センター試験 数学1A解説 第1問[1] 数と式