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2018年センター試験 数学1A解説 第2問[1] 図形と計量

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第2問の[1]も去年と変わらず「図形と計量(三角比)」からの出題です。センター試験から新テスト(大学入学共通テスト?)に変化するのに合わせてか、問題内容(出題で問われてる内容)が少しずつ変わってきてるようにも思えます。少しずつですが。

とは言っても基礎を固めてさえいれば、最後の最後以外はテンポよく解いていけると思いますよ。ではいきましょう。

  ア  イ の解き方

AB、BC、ACの長さが分かってる上にcos∠ABCを求めさせる…とすればそう、余弦定理しかないでしょう。ということで、△ABCに余弦定理を使います。

AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2 \cdot AB \cdot BC \cos{\angle ABC}
6^{2}=5^{2}+9^{2}-2 \cdot 5 \cdot 9 \cos{\angle ABC}
36=25+81-90 \cos{\angle ABC}
-70=-90 \cos{\angle ABC}
\cos{\angle ABC}=\frac{\fbox{7}}{\fbox{9}} … ア  イ 

  ウ  オ の解き方

cos∠ABCが分かれば、sin2θ+cos2θ=1から、sin∠ABCは瞬殺で分かりますね。

sin2∠ABC+cos2∠ABC=1
\sin^{2}{\angle ABC}+\frac{7^{2}}{9^{2}}=1
\sin^{2}{\angle ABC}=1-\frac{49}{81}
\sin^{2}{\angle ABC}=\frac{32}{81}

0<∠ABC<180°より、0<sin∠ABC<1なので

\sin{\angle ABC}=\frac{\fbox{4}\sqrt{\fbox{2}}}{\fbox{9}} … ウ  オ 

  カ  キ の解き方

さて、ここからが本番といった感じなのですが、「四角形ABCDは台形」だと。そして、選択肢のラインナップを見ると、CDとABsin∠ABCの大小を比べて、AD//BCか、AB//CDかを判定させる問題がある、と。CDの長さは3なので、とりあえず誘導に乗っかって、ABsin∠ABCを出して見ましょう。

AB\cdot\sin{\angle ABC}=5\cdot\frac{4\sqrt{2}}{9}=\frac{20\sqrt{2}}{9}

センター試験で時間もそんなに無いので、まず\sqrt{2}を1.4として近似して考えていきましょう(それで微妙なら2乗して考える)。20×1.4=28で

\frac{28}{9}>3(27/9)

したがって、CD <(0) AB・sinABCがわかります。 … カ 

次に、 キ に入るものを選択肢から見ていくのですが、

  • ③ 辺ADと辺BCが平行
  • ④ 辺ABと辺CDが平行

これ絶対 カ の情報使うよなぁ~と思いながら見ていきましょう。AB・sinABCが怪しい。AからBCに下ろした垂線の足をHとすると、AB・sinABCがAHになる、と考えていくと、四角形ABCDが台形で、AD//BCったらCD<AH(高さ)になることはあり得ないですよね(図を描きたいのですが今のとこ省略。そのうち描きたいなあ)。逆にAB//CDだったら、これも図を描いてみると分かりやすいのですがCD<AHがあり得ます。ということで、 キ の答えは ④ (辺ABと辺CDが平行)となります。

  ク  コ の解き方

AB//CDの台形で、∠ABD=α,∠DBC=βとおくと、AB//CDで(平行線の錯角より)∠BCD=αとなり、さらに∠BCD=180°-(α+β)とわかります。

一方、∠ABC=α+βより、∠BCD=180°-∠ABCとなるわけです。さて、BDの長さを求めるわけですが、BC,CDの長さは分かっていますから、余弦定理を使えば良さそうですね。

\cos\angle BCD = \cos (180^{\circ} - \angle ABC) = -cos\angle ABC = -\frac{7}{9}

これでBDを出すための下準備が整いました。

BD2 = BC2 + CD2 - 2・BC・CDcos∠BCD
=9^{2}+3^{2}-2\cdot 9 \cdot 3 -\frac{7}{9}=90+42=132
BD=\sqrt{132}=\sqrt{4\cdot 33}=\fbox{2}\sqrt{\fbox{33}} ク  コ 

となって一件落着ですが、 カ から キ への誘導、「なんでそこから平行の問題になる?」という意図と、平行だから平行線の錯角を使って(中学内容!)cos∠BCDが求められる!ということに気が付かないと堂々巡りをして時間を消費してしまいそうな気がします。一回詰まるとかなり時間がかかりそうな問題でしたね。

2018年センター試験 数学Ⅰ・数学A解説

 







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