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2018年センター試験 数学1A解説 第2問[2] データの分析

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第2問の[2]はデータの分析からの出題でしたが、これも「集合と命題」と並んであまり二次試験には出ないので厄介というか、それなりの対策が必要となる分野ですね。2018年度は「気付くまでにひと苦労」「気づいたらあとは楽」という出題で、戸惑った受験生も多いのでは?と感じました。

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(1)の解き方

序盤の正誤問題は1個1個見極めていく他には方法がないんじゃないか…という国語や英語的な要素がありますよね(他にもっといい解法があったら教えてほしいです)

選択肢0の正誤

女子短距離グループの範囲は145~190の45㎝。対して幅がありそうな男子短距離グループの幅を見てみると、150~205の55㎝。ということで女子短距離の範囲は最も大きいということはありません。×としましょう。

選択肢1の正誤

四分位範囲なので箱ひげ図を見たほうが良さそうですね。四分位範囲はQ3-Q1なので、目分量で読んでいくと

  • 男子短距離:186-176=10程度
  • 男子長距離:179-170=9程度
  • 女子短距離:174-165=9程度
  • 女子長距離:170-161=9程度

ということで、これは合っていそう。○としましょう。

選択肢2の正誤

まず中央値がどこにあるかを探るために箱ひげ図を見てみましょう。男子長距離グループの中央値は…大体176㎝あたりか。そこで男子長距離のヒストグラムを見てみると、度数が最大の階級は「170~175」に収まってる。ということはこれは×ですね。

選択肢3の正誤

2番の選択肢と同じような解き方で解けると思います。箱ひげ図から女子長距離の第一四分位数(Q1)は160と162の間、161あたりか。その一方で、女子長距離のヒストグラムでは「165~170」が度数最大の階級になってる。これも×でしょうね。

選択肢4の正誤

これはヒストグラムから見ていきましょう。すべての選手の中で最も身長の高い選手は…男子長距離を見てみると、195~200の中にいますが、男子短距離は200~205の間にいますね。ということはこれも×。

選択肢5の正誤

これも選択肢4と同様な方法で解いていきます。ヒストグラムを見ると、もっとも身長の低い選手は、女子短距離グループに「145~150」の人がいるのでこれでしょうね。女子長距離の中にはいないので、×と。

選択肢6の正誤

中央値や第3四分位数を聞いているので、箱ひげ図から探します。まず男子短距離の中央値は180と182の間に…入ってますね。181ぐらいでしょうか。さらに男子長距離の第3四分位数は…これも181ぐらいですね。ということはともに180以上182未満に入っているので、○ということになります。

答えの選択肢は、  1  6  …  サ  シ 

(2)の解き方

(2)では新しい情報が少し入っているようなので、見ながら問題を解くヒントにしていきましょう。身長はH、体重はW、Xは(H/100)2(つまり身長をメートル換算したものの2乗)、Z=W/X(体重を身長[m]の2乗で割った値)…あれ、どっかで見たことあるなこの数値。BMI(Body Mass Index)ってやつですね。18.5~25の間が標準体重だとされるアレです。

そして図3にはXとWの散布図があり、図4にはZの4種類の箱ひげ図が。ただしどれがどれに当てはまるのかは書かれていないので、推定していく必要があると思います。

さらに図3には4本の直線(l1~l4)があり、傾きが15~30だと問題文に記入されています。というか傾きとは一体何だ…。WをXで割った値…Z(BMI)の直線か!これをヒントに図4を特定していけばいいわけか…。という風に、「傾きとZに一体何の関係があるんだ?」で時間を消費した人は多かったのではないでしょうか…。気づいたら瞬殺、気付かなければ泥沼、旧課程の第3問(図形)の問題みたいになってきてますね…。

選択肢0の正誤

「XとWには負の相関がある」…?傾きがプラスの4本の直線が物語っていますが、これは全くの逆ですね。4つのグループすべて、XとWにあるのは「正の相関」です。これは即×。

選択肢1の正誤

4つのグループのうちZの中央値が一番大きいのは…。まず図4から見ていきましょう。Zの中央値が一番大きいのは(a)のグラフです。(a)のグラフの特徴を見てみましょう。Z(BMI)の最大値が30を上回っているということ。これを図3から探し出すわけですが、傾き30のl4の直線付近に点を打ってあるものがあればそれだな…と目処がたつのではないでしょうか。探していくと…あった。男子短距離ですね。

ということは、Zの中央値が一番大きいのは、男子長距離ではなく、「(a)男子短距離」となり、これも×ということがわかります。

選択肢2の正誤

4つのグループでZの範囲が最小なのは…。図4で見ると(d)が範囲最小になると思いますが、何か特徴はありますかね…。最大値が一番小さいですね。さらに、図3に当てはめれば、BMI25未満の人が1人もいないので、全員がl3(BMI25)より下の範囲にいるということもわかります。どれかあるかなぁ…と探していくと、女子長距離のグラフが当てはまりました。

4つのグループでZの範囲が最小なのは、男子長距離ではなく、「(d)女子長距離」ですね。これも×。

選択肢3の正誤

2つぐらい特定しておくと、今度は後ろからも考えることができます。「…は、男子短距離グループである」、(a)男子短距離グループが4つのグループのうち四分位範囲が最小かどうか調べればいいですね。で、どう見ても四分位範囲は最大なのでこれも×になります。

ということは2つ選ぶので残った4番と5番が正解ということになるのですが、一応見ておきましょう。

選択肢4の正誤

(d)女子長距離のすべてのZ(BMI)が25より小さい…これは選択肢2の正誤判定で確認できましたね。○でしょう。

選択肢5の正誤

まだ特定できていないグループは「男子長距離」と「女子短距離」、箱ひげ図は(b)と(c)なので、それぞれどちらに当てはまるのか比較してみましょう。最大や最小などで見分ければいいと思いますが、男子長距離の最大BMI(と思われる点)は、l3(25)とl4(30)の間にあるl4寄りの点かと思われます。また、男子長距離の最小BMIはl1(15)からちょっと離れたところにある、というのが特徴的か。

さらに、女子短距離では、最大のBMIはl3(25)とl4(30)の中間地点あたりにあり、最小BMIはおそらくl1よりギリギリちょっと大きいところにある点でしょうから、これらのことから考えると、男子長距離が(c)で、女子短距離は(b)となりますので、これは○で良いでしょう。

答えの選択肢は、  4  5  …  ス  セ 

(3)の解き方

データの分析の最後の問題は何かと抽象的な式が並び難しそうな傾向にあるのですが…今年は共分散の求め方の公式があれば一発だったような気がします。共分散sxwについて

\frac{(x_{1}-\bar{x})(w_{1}-\bar{w})+(x_{2}-\bar{x})(w_{2}-\bar{w}) \cdots (x_{n}-\bar{x})(w_{n}-\bar{w})}{n} 
=\frac{x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+\cdots+x_{n}w_{n}}{n}-\overline{xw}

両辺nをかけて

{(x_{1}-\bar{x})(w_{1}-\bar{w})+(x_{2}-\bar{x})(w_{2}-\bar{w}) \cdots (x_{n}-\bar{x})(w_{n}-\bar{w})} 
=x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+\cdots+x_{n}w_{n}- n\overline{xw}

となるので、答えは  2  …  ソ 

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