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2018年センター試験 数学1A解説 第3問 確率

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2018年センター試験数学、第3問は数学Aから「確率」の出題です。選択問題の初っ端にありますね。ここ10年ぐらい観ると、難しくなったり、簡単になったり、時間を取られたり、あっさり片付いたりと少し極端ではありますが、どんな出題だったのでしょうか。解いていってみましょう。

(1)の解き方[中学のおさらい?]

大小2つのさいころを同時に投げました。P(A)は「大きいサイコロで4の目が出る確率」これは中学で習う確率ですかね。1~6の中で4が出る確率なので、

P(A)=\frac{\fbox{1}}{\fbox{6}}・・・ ア  イ 

P(B)も中学で習ったと思います。分からない人は「さいころの目の和の確率(出た目の和が7になる確率)」を参照してください。分母は6×6=36通りで(大,小)が(1,6),(2,5),(3,4),...,(6,1)の6通り。

P(B)=\frac{6}{36}=\frac{\fbox{1}}{\fbox{6}}・・・ ウ  エ 

P(C)も同じ考え方で行けると思います。トータル36通り中の(大,小)=(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)の4通りなので、

P(B)=\frac{4}{36}=\frac{\fbox{1}}{\fbox{9}}・・・ オ  カ 

(2)の解き方[条件付き確率]

事象Cが起こったとき…が(大,小)=(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)の4通りに限定されるので、この4通りの中で事象A(大きいサイコロの目が4)が起こる確率は(4,5)の1通り。ということは条件付き確率は

\frac{\fbox{1}}{\fbox{4}}・・・ キ  ク 

事象Aが起こったとき、(大,小)=(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)の6通りで、その中で事象Cが起こる条件付き確率は(4,5)の1通り、求める確率は

\frac{\fbox{1}}{\fbox{6}}・・・ ケ  コ 

ここまでは中学生でも解けてしまう問題だなぁと思いながら、先に進んでいきます。

(3)の解き方[確率の大小判定]

次は、確率の大小判定の問題ですね。問題文を読む限り、出ない確率ではないと思うので、出していきましょうか。

P(A∩B)

大小2個投げて、Aが起こる場合(4,1),(4,2),…,(4,6)の6通り。その中でBが起こるのは(4,3)の1通り。ということは6×6=36通り中1通りだけなので、

P(A\cap B)=\frac{1}{36}

P(A)P(B)

これについては、(1)でP(A)もP(B)も出したので、再利用すればいいかなと思います。

P(A)P(B)=\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}

となるので、

P(A∩B) =(①) P(A)P(B)・・・ サ 

P(A∩C)

大小2個投げて、Aが起こる場合(4,1),(4,2),…,(4,6)の6通り。その中でCが起こるのは(4,5)の1通り。ということは6×6=36通り中1通りだけなので、

P(A\cap C)=\frac{1}{36}

P(A)P(C)

これも、(1)でP(A)とP(C)を出したので、再利用しましょう。

P(A)P(C)=\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{54}

なので、P(A∩C)の方がP(A)P(C)よりも大きいことが分かりました。

P(A∩C) >(②) P(A)P(B)・・・ シ 

(4)の解き方

1回めにA∩Bが起こる確率は先程出したP(A\cap B)=\frac{1}{36}として、2回めにA∩Cが起こるのは、全36通り中(大,小)=(3,6),(5,4),(6,3)の3通りなので、

P(\overline{A} \cap C)=\frac{3}{36} \cdot \frac{1}{12}

なので、それぞれ掛け合わせて

\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{12} = \frac{\fbox{1}}{\fbox{432}}・・・ ス  タ 

 次の問題では「A,B,Cがいずれもちょうど1回ずつ起こる確率」を聞いていますが、さっき出した

  • 1回めにA∩Bが起こり、2回めにA∩Cが起こる…(*)

これをヒントにすればいいんじゃないかと思います。(これ、A,B,Cちょうど1回ずつ起こってますよね)他にも、

  • 1回めにA∩Bが起こり、2回めにA∩Cが起こる…(a)
  • 1回めにA∩Cが起こり、2回めにA∩Bが起こる…(b)
  • 1回めにA∩Cが起こり、2回めにA∩Bが起こる…(c)

これらを足し合わせたものが「A,B,Cいずれもちょうど1回ずつ起こる確率」になるんじゃないかと踏んで計算していきましょう。

(a)の場合

1回めにA∩Bが起こるのは36通り中(1,6),(2,5),(3,4),(5,2),(6,1)の5通りなので、確率は\frac{5}{36}で、さらに2回めにA∩Cが起こる確率は

\frac{5}{36} \cdot \frac{1}{36}=\frac{5}{1296}

(b)の場合

1回めにA∩Cが起こる確率は\frac{1}{36}。また、A∩Bが起こる確率は先程出した\frac{5}{36}から、

\frac{1}{36} \cdot \frac{5}{36}=\frac{5}{1296}

(c)の場合

A∩Cが起こる確率は ス  タ で出した\frac{1}{12}で、A∩Bが起こる確率はP(A\cap B)=\frac{1}{36}なので

\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{36} = \frac{\fbox{1}}{\fbox{432}}

したがって、求める確率は(*)+(a)+(b)+(c)より

\frac{1}{432}+\frac{5}{1296}+\frac{5}{1296}+\frac{1}{432}
=\frac{\fbox{1}}{\fbox{81}} ・・・ チ  テ 

最終問題以外は特に苦戦することもなく、数分~5分かかるかかからないかぐらいで20点中14点は楽々ゲットできたような感じですね。最後の誘導もそこまで鬼じゃなかったんじゃないかなと思います。

◎どうでもいい余談なんですが・・・。

問題にサイコロの確率が出てきたとき、頭の中で「カイジ」のナレーションで読み上げるクセがあるのは私だけでしょうか…?

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