2018年センター試験数学、第3問は数学Aから「確率」の出題です。選択問題の初っ端にありますね。ここ10年ぐらい観ると、難しくなったり、簡単になったり、時間を取られたり、あっさり片付いたりと少し極端ではありますが、どんな出題だったのでしょうか。解いていってみましょう。
(1)の解き方[中学のおさらい？]
大小2つのさいころを同時に投げました。P(A)は「大きいサイコロで4の目が出る確率」これは中学で習う確率ですかね。1～6の中で4が出る確率なので、
P(B)も中学で習ったと思います。分からない人は「さいころの目の和の確率(出た目の和が7になる確率)」を参照してください。分母は6×6＝36通りで(大,小)が(1,6),(2,5),(3,4),...,(6,1)の6通り。
P(C)も同じ考え方で行けると思います。トータル36通り中の(大,小)＝(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)の4通りなので、
(2)の解き方[条件付き確率]
事象Cが起こったとき…が(大,小)＝(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)の4通りに限定されるので、この4通りの中で事象A(大きいサイコロの目が4)が起こる確率は(4,5)の1通り。ということは条件付き確率は
事象Aが起こったとき、(大,小)＝(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)の6通りで、その中で事象Cが起こる条件付き確率は(4,5)の1通り、求める確率は
ここまでは中学生でも解けてしまう問題だなぁと思いながら、先に進んでいきます。
(3)の解き方[確率の大小判定]
次は、確率の大小判定の問題ですね。問題文を読む限り、出ない確率ではないと思うので、出していきましょうか。
P(A∩B)
大小2個投げて、Aが起こる場合(4,1),(4,2),…,(4,6)の6通り。その中でBが起こるのは(4,3)の1通り。ということは6×6=36通り中1通りだけなので、
P(A)P(B)
これについては、(1)でP(A)もP(B)も出したので、再利用すればいいかなと思います。
となるので、
P(A∩B) ＝(①) P(A)P(B)・・・ サ
P(A∩C)
大小2個投げて、Aが起こる場合(4,1),(4,2),…,(4,6)の6通り。その中でCが起こるのは(4,5)の1通り。ということは6×6=36通り中1通りだけなので、
P(A)P(C)
これも、(1)でP(A)とP(C)を出したので、再利用しましょう。
なので、P(A∩C)の方がP(A)P(C)よりも大きいことが分かりました。
P(A∩C) ＞(②) P(A)P(B)・・・ シ
(4)の解き方
1回めにA∩Bが起こる確率は先程出した
なので、それぞれ掛け合わせて
次の問題では「A,B,Cがいずれもちょうど1回ずつ起こる確率」を聞いていますが、さっき出した
- 1回めにA∩Bが起こり、2回めにA∩Cが起こる…(*)
これをヒントにすればいいんじゃないかと思います。（これ、A,B,Cちょうど1回ずつ起こってますよね）他にも、
- 1回めにA∩Bが起こり、2回めにA∩Cが起こる…(a)
- 1回めにA∩Cが起こり、2回めにA∩Bが起こる…(b)
- 1回めにA∩Cが起こり、2回めにA∩Bが起こる…(c)
これらを足し合わせたものが「A,B,Cいずれもちょうど1回ずつ起こる確率」になるんじゃないかと踏んで計算していきましょう。
(a)の場合
1回めにA∩Bが起こるのは36通り中(1,6),(2,5),(3,4),(5,2),(6,1)の5通りなので、確率は
(b)の場合
1回めにA∩Cが起こる確率は
(c)の場合
A∩Cが起こる確率は ス ～ タ で出した
したがって、求める確率は(*)+(a)+(b)+(c)より
=
最終問題以外は特に苦戦することもなく、数分～5分かかるかかからないかぐらいで20点中14点は楽々ゲットできたような感じですね。最後の誘導もそこまで鬼じゃなかったんじゃないかなと思います。
◎どうでもいい余談なんですが・・・。
問題にサイコロの確率が出てきたとき、頭の中で「カイジ」のナレーションで読み上げるクセがあるのは私だけでしょうか…？