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2019年センター追試 数学2B解説 第1問[1] 図形と方程式

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2019年(平成31年)のセンター試験追試、数学ⅡBの第1問[1]の解説です。例年第1問は指数・対数関数、三角関数、図形と方程式の中から2問構成となっていますが、本年の追試験は[1]図形と方程式、[2]指数・対数関数からの出題となりました。

早速[1]の図形と方程式から見ていきましょう。

(1) 円の方程式

Cは中心(3,1)、半径1の円なので、円の方程式に代入するだけで答えが出そうです。

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(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=1
x^2-6x+9+y^2-2y+1-1=0
x^2+y^2-\fbox{6}x - \fbox{2}y +\fbox{9}=0

……ア:6,イ:2,ウ:9

(2) 円と接線、垂直条件

Cと直線lが「接する」ので、直線lの式を円Cの式に代入して、「重解をもつ」ことから判別式D=0に持ち込むのが一手ですかね。

別解として「点と直線の距離」の公式を使って、距離=半径で出すこともできます。計算量の差はあまりないと思いますが、センター試験終了後の「大学入学共通テスト」のプレテストを見る限り、共通テストでは一つの問題に対して複数のアプローチで導出する問題もあり、共通テスト受験生は可能な限り別解の有無を調べておくと良いかもしれません。

Cの式にy=axを代入して

x^2+a^2 x^2-6x-2ax+9=0
(a^2+1)x^2-2(a-3)x+9=0

この式の判別式をDとすると、D=0より

4(a-3)^2-4 \cdot (a^2+1)\cdot 9 = 0
(a-3)^2-(a^2+1)\cdot 9 =0
a^2-6a+9-9a^2-9=0
-8a^2+6a=0
4a^2-3a=0
a(a-\frac{3}{4})
a=\fbox{0},\frac{\fbox{3}}{\fbox{4}}

……エ:0、オ:3、カ:4

ここから先、あれこれ考えたのですがやはり式が煩雑になってしまうので、ここは中学校の知識に戻りましょう。「円の接線は、接点を通る半径に垂直に交わる」これを利用しましょう。

接点を通る半径に垂直に交わる、ということは円の中心を通るってことで…

a=\frac{3}{4}なので、lに垂直な直線の傾きは、aの逆数にマイナスをかけて、-\frac{4}{3} ということがわかります。

これが円の中心(3,1)を通っているので、Cとlの接点を通り、lに垂直な直線の式は、

y=-\frac{4}{3}(x-3)+1
y=-\frac{\fbox{-4}}{\fbox{3}}x+\fbox{5}

…キク:-4、ケ:3、コ:5

(3) 弦の長さ・点と直線の距離

さて、ここに来ると(2)の設定(直線lが円Cに接する)がリセットされ、「異なる2点で交わる」つまりlがCを突っ切るという形になりますので、それをイメージして図を捉え直さなければいけませんね。

座標は省略して、概略図で描くとこんな感じか

補足ですが、円Cの中心をC、中心Cから線分ABに引いた垂線の足をHとして、CH=dとしてあります。お気づきの方もいると思いますが、この構図、点と直線の距離の公式が使えますね。

直線ABの式はy=axよりax-y=0,C(3,1)からdを求めましょう。

d=\frac{|3a-1|}{\sqrt{a^2+1}}

また、ACの長さは円Cの半径なので、1となります。△ACHに三平方の定理を使うと、

{AH}^2=1^2-(\frac{|3a-1|}{\sqrt{a^2+1}})^2
=\frac{a^2+1}{a^2+1}-\frac{9a^2-6a+1}{a^2+1}
=\frac{6a-8a^2}{a^2+1}
AH=\sqrt{\frac{6a-8a^2}{a^2+1}}

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AB=2AHより

AB=\fbox{2}\sqrt{\frac{\fbox{6}a-\fbox{8}a^2}{a^2+1}}

…サ:2、シ:6、ス:8

AB=2のとき、

2\sqrt{\frac{6a-8a^2}{a^2+1}}=2
\sqrt{\frac{6a-8a^2}{a^2+1}}=1
\sqrt{6a-8a^2}=\sqrt{a^2+1}

両辺2乗して

6a-8a^2=a^2+1
9a^2-6a+1=(a-\frac{1}{3})^2=0
a=\frac{\fbox{1}}{\fbox{3}}

…セ:1、ソ:3

となります。

雑感

(3)についてもいろいろ解法は思いつきそうですが、解答欄の「サ」を見ると、明らかに「何倍かする・・・2倍か?2倍ってことは点と直線の距離でAHの長さ求めさせる問題か?」という「慣れ」の部分は大きいのかな、という雑感です。本試験ではなかなか図形と方程式の問題はお目にかかれないので、もし、対策や練習問題が必要な方は、過去問の「数学2」でトレーニングを積むのも良いかもしれませんね。







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